Generalità Relative – 1. Galileo Galilei: la relatività

Galileo figuro magnifico!

Spazio e tempo assoluti

Se c’è una cosa di cui siamo tutti abbastanza certi è che un giorno dura 24 ore. Che siamo a casa nostra, dall’altra parte del mondo, in viaggio in auto, in nave, in treno, in aereo, siamo sicuri che tra una mezzanotte e la successiva ci saranno 86.400 secondi [1]. Questa affermazione, se ci pensate, non è così banale: perché mai tutti quanti dovremmo misurare sempre le stesse durate?

Non solo: se portassimo in giro per il mondo un’asta indeformabile da un metro, chiunque volesse misurare l’asta — in qualsiasi punto della Terra, in qualsiasi istante, in qualsiasi condizioni — ne misurerebbe una lunghezza pari a un metro.

Tutto questo, ovviamente, costituisce la nostra esperienza comune, e in linea di principio, non c’è nulla che ci possa far dubitare di questa idea.

Dal nostro punto di vista di persone comuni, quindi, gli intervalli di tempo e le lunghezze che misuriamo sono assoluti, non dipendono dall’osservatore né dall’osservazione.

Tutta la fisica classica si basa esattamente su questi presupposti. Bisogna però porre particolare attenzione a questi concetti: il fatto che lunghezze e intervalli di tempo siano uguali per tutti non significa che le posizioni e i tempi lo siano. Per esempio, una persona che si trova a 10 metri a est rispetto a noi non potrà trovarsi 10 metri a est rispetto a tutti quanti. Oppure, se noi misurassimo ogni singolo avvenimento partendo da un momento preciso, per esempio la nostra nascita, ciascuno di noi misurerà, per lo stesso evento, un tempo diverso. Così, per me — che sono nato il 25/01/1989 — la scoperta delle onde gravitazionali è stata annunciata quando avevo 27 anni e 17 giorni, mentre per Kip Thorne — nato il primo giugno 1940 — erano 75 anni, 8 mesi e 10 giorni.

Quando scegliamo un istante e una posizione “iniziali” abbiamo definito un sistema di coordinate o sistema di riferimento. I sistemi di riferimento tra cui possiamo scegliere sono infiniti ma, a prescindere da quale sia quello che abbiamo scelto, gli intervalli di tempo e le lunghezze misurate saranno le stesse. Ed è proprio questo che si intende quando si dice che “spazio e tempo sono assoluti”: lunghezze e durate non dipendono dal sistema di riferimento.

Relatività galileiana

L0021979 Galileo Galilei (1564-1642). Oil painting after Justus Credit: Wellcome Library, London. Wellcome Images images@wellcome.ac.uk http://wellcomeimages.org Galileo Galilei (1564-1642). Oil painting after Justus Sustermans, 1635. Oil By: Justus SustermansPublished: - Copyrighted work available under Creative Commons Attribution only licence CC BY 4.0 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Galileo Galilei (1564-1642).

Se avete sempre associato la parola “relatività” al baffuto Albert Einstein, devo purtroppo dirvi che non è stato lui il primo a parlarne. Molto prima di lui ci fu Galileo Galilei, anche se quando lui parlava di relatività intendeva qualcosa di un po’ diverso da quello che ci aspettiamo.

Per costruire la sua relatività, Galileo Galilei partì proprio dal concetto secondo cui spazio e tempo sarebbero assoluti, che era esattamente quello che suggeriva l’esperienza comune™.

Abbiamo visto che le posizioni e i tempi non sono assoluti, solo le lunghezze e gli intervalli di tempo lo sono. Cosa possiamo dire, quindi, di come variano le posizioni nel tempo, cioè delle velocità?

Vi racconterò, allora, del giorno in cui feci incontrare Galileo Galilei, Albert Einstein e Kip Thorne per la prima volta [2]. Galileo si trovava in piedi sul marciapiede, fermo, ad aspettare l’autobus, quando Albert Einstein gli passò davanti camminando. Galileo misurò la lunghezza percorsa da Albert Einstein, 100 metri, e quanto tempo impiegò a percorrerli, 2 minuti. Concluse che Albert stava viaggiando ad una velocità di 3 km/h. In quel momento, Kip Thorne sfrecciò davanti a Galileo a bordo della sua automobile, nella stessa direzione di Albert. Forse dire che “sfrecciò” era esagerato: vi era un misuratore di velocità sul bordo della strada, che sentenziò che la velocità dell’auto di Kip era di 40 km/h. Quel che Galileo non sapeva è che, mentre superava Albert, anche Kip misurò la velocità del suo collega Albert rispetto a lui: conscio del fatto che Kip era fermo nel proprio sistema di riferimento, trovò che la velocità di Albert era di 37 km/h nella direzione opposta! Visto che Galileo, Albert e Kip rappresentano tre sistemi di riferimento, e visto che Galileo e Kip misurano velocità diverse per Albert, quello che troviamo è che, così come le posizioni e i tempi, anche le velocità dipendono dal sistema di riferimento. Tuttavia, a risolvere questo pasticcio, notiamo che sottraendo la velocità di Albert misurata da Kip (-37 km/h) dalla velocità di Albert misurata da Galileo (3 km/h), il totale è esattamente di 40 km/h (3 km/h – (-37 km/h)), e nel sistema di riferimento di Galileo, Kip si muoveva esattamente di 40 km/h. Dunque, le velocità si sommano, seguendo quella che viene detta legge di composizione delle velocità, in modo tale che le velocità relative tra due sistemi di riferimento rimangano sempre le stesse.

A sinistra, il sistema di riferimento di Galileo, dove Galileo è fermo. Secondo Galileo, la velocità di Albert (che si muove verso l’alto) è di 3 km/h, quella di Kip (che si muove anch’esso verso l’alto) è di 40 km/h. Al centro, il sistema di riferimento di Albert, nel quale lui è fermo. Secondo lui, Galileo si muove verso il basso di 3 km/h e Kip verso l’alto di 37 km/h. Ad ogni modo, Albert misura una velocità relativa di 40 km/h tra Galileo e Kip. A destra, il sistema di riferimento di Kip, nel quale lui è fermo. Nel suo sistema, Galileo si muove di 40 km/h verso il basso, mentre Albert di 37 km/h, sempre verso il basso.

Finora abbiamo considerato solo sistemi di riferimento che si muovono tra loro a velocità costante: questi vengono detti sistemi di riferimento inerziali. La genialità di Galileo (quello vero, non quello alla fermata del bus) sta nel fatto che egli fu in grado di trovare una proprietà molto particolare che lega questi sistemi di riferimento, ovvero che le leggi (inteso proprio come equazioni) che descrivono i moti dei corpi sono sempre le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale.

Quel che ancora non vi ho detto dell’incontro tra i tre scienziati è che, mentre aspettava il bus, Galileo stava palleggiando un pallone da basket [3]. Galileo vedeva il pallone muoversi in su e in giù, in verticale. Albert, invece, vedeva una traiettoria del pallone diversa, che si muoveva sì su e giù, ma contemporaneamente si muoveva all’indietro di 3 km/h. Ma questo non ci sorprende: se spazio e tempo dipendono dal sistema di riferimento, allora anche la traiettoria del moto, di per sé, dipende dal sistema di riferimento. Notato Galileo, Albert si fermò e si mise a parlare con Galileo, alla fermata del bus: ora anche Albert, ovviamente, vedeva il pallone muoversi puramente su e giù. Fermandosi, Albert aveva azzerato la propria velocità relativa rispetto a Galileo. Di conseguenza, sebbene nei due sistemi di riferimento il pallone seguisse una traiettoria diversa, è sufficiente tener conto della velocità relativa tra i due sistemi di riferimento per avere lo stesso moto. Questo è un modo per dire che se al moto del pallone osservato da Galileo sommiamo la velocità relativa rispetto ad Albert, possiamo ricostruire la traiettoria del moto del pallone così come la vedrebbe Albert.

A sinistra, il moto del pallone nel sistema di riferimento di Galileo: il pallone si muove i su e in giù, mentre Albert verso destra a 3 km/h. A destra, la traiettoria del pallone nel sistema di riferimento di Albert: il pallone si muove ancora in su e in giù, ma anche verso sinistra, seguendo il moto di Galileo nel sistema di riferimento di Albert.

Ma se possiamo trasformare un moto osservato in un sistema a velocità costante in quello osservato nell’altro sistema semplicemente sommando le velocità, le leggi fisiche che regolano il moto non cambiano: e questo è esattamente ciò che afferma la relatività galileiana.

Se ci pensate bene, dietro il concetto di relatività galileiana c’è un concetto ancora più fine: se le leggi del moto non dipendono dal sistema di riferimento inerziale, allora tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti, nel senso che non ce n’è uno privilegiato rispetto a un altro.

Allora, se 1) tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti e 2) le leggi del moto sono sempre le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale, possiamo concludere, per esempio, che a priori non possiamo distinguere tra un sistema di riferimento “in quiete” e uno “in moto”. Questo concetto è perfettamente esemplificato da una citazione dello stesso Galileo, riportata nel suo Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo:

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosí, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

Crisi della relatività galileiana

La relatività galileiana è pressoché perfetta per descrivere i moti che possiamo osservare nella nostra vita quotidiana e, in particolare, nella vita quotidiana ai tempi di Galileo. Al giorno d’oggi, però, conosciamo molti fenomeni che Galileo non conosceva affatto, uno fra tutti l’elettromagnetismo.

James Clerk Maxwell (1831 - 1879) formulò le equazioni che descrivono i fenomeni elettromagnetici
James Clerk Maxwell (1831 – 1879) formulò le equazioni che descrivono i fenomeni elettromagnetici.

In particolare, studiando i campi elettrici e i campi magnetici, ci si accorge che questi non sono indipendenti tra loro, ma sono legati da alcune leggi – le equazioni di Maxwell — che fanno sì che ad una variazione del campo elettrico corrisponda una variazione del campo magnetico, e viceversa. Visto che queste leggi non sono indipendenti tra loro, le equazioni si possono legare insieme, e queste predicono l’esistenza di onde, le onde elettromagnetiche, che si propagano con una velocità costante, che è la stessa in ogni sistema di riferimento. Un esempio di queste onde elettromagnetiche è la luce: questo ci fa capire che queste onde non sono solo teoriche, ma esistono davvero (anzi, ne siamo letteralmente circondati). Tuttavia, sono proprio queste onde a far cadere in crisi la relatività galileiana.

Come abbiamo visto, infatti, secondo la relatività galileiana, la velocità misurata dipende dal sistema di riferimento, mentre la velocità delle onde elettromagnetiche è sempre la stessa in ogni sistema di riferimento. Certo, se la velocità delle onde elettromagnetiche fosse infinita, potremmo in qualche modo risolvere questo problema, considerata la “stranezza” del concetto di infinito [4]. Il problema è che, secondo la teoria dell’elettromagnetismo stessa, la velocità delle onde elettromagnetiche non è infinita, e inoltre le prime misure della velocità della luce rendevano palese il fatto che questa velocità fosse davvero finita [5].

D’altro canto, la relatività galileiana funziona perfettamente per descrivere i moti e molti fenomeni che osserviamo comunemente tutti i giorni (tra cui l’elettromagnetismo è escluso). Allora come possiamo risolvere questo apparente paradosso?

La soluzione sta in un’altra teoria di relatività, una teoria che possa spiegare sia l’elettromagnetismo, sia i moti come li osserviamo quotidianamente. Ma per arrivare a questa “nuova relatività”, dobbiamo attendere il nostro amico Albert Einstein. E non alla fermata dell’autobus.

[1] – Ovviamente, tenendo conto di eventuali cambi di fuso orario o del passaggio da ora solare o ora legale (o viceversa), per non parlare dei secondi intercalari!
[2] – Non vi dico la fatica che ho fatto, con la mia macchina del tempo!
[3] – Evviva gli anacronismi!
[4] – Nel senso che, visto che le velocità relative si sommano, infinito più qualcosa di finito sarebbe comunque infinito, quindi in questo senso, se la velocità della luce fosse infinita, continuerebbe ad esserlo in ogni sistema di riferimento.
[5] – Oggi sappiamo che la velocità della luce è circa 300.000 km/s. Per essere più precisi, è esattamente 299.792,458 km/s. L’“esattamente” qui potrebbe farvi storcere il naso, ma è proprio così, e soprattutto, c’è dietro tutta un’altra storia.

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