Generalità Relative – 2. Isaac Newton: la gravitazione universale

Set me free, leave me be
I don’t want to fall another moment into your gravity

Le forze

Alzatevi in piedi, prendete una mela e tenetela di fronte a voi: fin quando la terrete in mano, questa rimarrà lì, ferma. Ora smettete di reggerla e, com’è ovvio a chiunque, questa cadrà verso il suolo. La vera domanda, tutt’altro che ovvia, a cui vogliamo rispondere è… perché?

Facciamo un passo alla volta: la mela inizialmente era ferma, tenuta dalla nostra mano. Dopodiché, la sua velocità è cambiata. Fino ad ora abbiamo sempre parlato di velocità costante, mentre in questo caso la velocità della mela ha subito una variazione.

Nel caso più generico possibile, una variazione di velocità è detta accelerazione. Se la velocità di un corpo aumenta, l’accelerazione sarà positiva, se invece la velocità diminuisce, l’accelerazione sarà negativa (e in questo caso verrà detta decelerazione).

Ogni interazione che provoca un’accelerazione nel moto di un oggetto viene generalmente detta forza [1], e quando si parla di forze non si può fare a meno di parlare del parruccone più famoso del mondo della fisica: Isaac Newton.

Le leggi di Newton

Isaac Newton (1642 - 1727)
Isaac Newton (1642 – 1727)

Il nostro parruccone di fiducia, in particolare, ha enunciato tre leggi relative al concetto di forza. Prima di tutto, se un’accelerazione è provocata da una forza, e se un’accelerazione è una variazione di velocità, allora un oggetto che non è sottoposto a forze (o sottoposto a forze tali per cui la loro somma sia zero) non vedrà modificata la propria velocità, ovvero rimarrà nel suo stato di quiete o di moto a velocità costante.

Inoltre, maggiore è la forza esercitata e maggiore è l’accelerazione provocata. Tuttavia, allo stesso tempo, si può verificare che, per imprimere la stessa accelerazione a due oggetti diversi, sull’oggetto con massa maggiore bisognerà esercitare una forza maggiore. Quello che Newton postula (e verifica sperimentalmente) è proprio che la forza esercitata su un oggetto è direttamente proporzionale all’accelerazione impressa all’oggetto e alla massa dell’oggetto stesso: \mbox{forza} = \mbox{massa }\times\mbox{ accelerazione}

Infine, la terza legge enunciata da Newton è quella nota, un po’ impropriamente, come la “legge del karma della fisica” [2]: ad ogni azione, corrisponde una reazione uguale e contraria. In soldoni, se un corpo esercita su un altro corpo una certa forza, allora anche l’altro corpo eserciterà sul primo corpo una forza di pari intensità, ma in direzione opposta.

Gravitazione

Quando osserviamo il moto dei pianeti nel cielo, notiamo che sono piuttosto regolari. In particolare, fu Keplero il primo a descrivere in modo molto preciso quali fossero le caratteristiche dei moti dei pianeti: hanno tutti orbite ellittiche rispetto al Sole, che si trova in uno dei fuochi dell’ellisse; quando si trovano più vicini al Sole, la loro velocità orbitale aumenta, mentre quando sono più lontani la velocità orbitale diminuisce; il cubo del semiasse maggiore dell’ellisse della loro orbita diviso per il quadrato del loro periodo di rivoluzione è una costante per tutti i pianeti del Sistema Solare.

Come non scordarsi mai più le leggi di Keplero.

Proviamo a semplificare le cose: invece di prendere orbite ellittiche, prendiamo orbite circolari. In questo modo, la distanza di ciascun pianeta dal Sole sarà costante, e la velocità non cambierà lungo l’orbita. O meglio, quello che non cambierà sarà l’intensità della velocità, cioè il suo modulo. Tuttavia, la velocità è un vettore, che cambierà costantemente direzione, rimanendo sempre tangente all’orbita del pianeta. Ma come abbiamo detto prima, una variazione di velocità è un’accelerazione, e se abbiamo un’accelerazione questa sarà connessa ad una forza. È possibile, dunque — si chiede Newton — che i moti dei pianeti siano provocati da una forza? E quali caratteristiche deve avere?

Torniamo alla nostra mela: quando la lasciamo cadere da ferma, questa acquisterà velocità, e sarà quindi soggetta ad un’accelerazione. Ma se “accelerazione” equivale a “forza”, vuol dire che quella che fa cadere la mela è proprio una forza. Il genio di Newton sta proprio qui: e se la forza che fa cadere la mela al suolo fosse la stessa forza che mantiene in orbita i pianeti? Bingo!

Dopo una buona dose di conti — anzi, dopo aver inventato un modo tutto nuovo di fare matematica — Newton giunge alla straordinaria conclusione che sì, la forza che fa cadere la mela al suolo è la stessa che tiene la Luna in orbita attorno alla Terra, e la Terra e gli altri pianeti intorno al Sole. Questa forza, in particolare, dipende dalla massa degli oggetti in orbita — proprio come prevede la seconda legge di Newton — e come conseguenza della terza legge di Newton, se la Terra esercita sulla mela una forza che la faccia cadere al suolo, la mela esercita sulla Terra una forza di uguale intensità ma diretta in verso opposto! L’unico motivo per cui è la mela a cadere sulla Terra e non viceversa è che la Terra, avendo una massa molto maggiore della mela, subirà un’accelerazione molto minore in virtù della seconda legge di Newton.

La forza gravitazionale di Newton, inoltre, diminuisce in intensità con la distanza dei corpi al quadrato, di modo che maggiore sia la distanza, minore sarà la forza esercitata. È proprio questo comportamento della forza con il variare della distanza che fa sì che le orbite dei pianeti siano ellittiche.

In sostanza, Newton scrive (le equazioni presenti in questi articoli saranno il minimo sindacale, lo prometto!):

{F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}}

dove vediamo le masse degli oggetti in gioco, m_1m_2, la distanza tra gli oggetti r (o meglio, tra i loro baricentri) e G, la costante di gravitazione universale.

Facciamo un esempio: poniamo che m_1 sia la massa della Terra e posizioniamoci sulla superficie terrestre, quindi r sarà il raggio della Terra [3]. A questo punto, tutto, a meno di m_2, sarà fissato e quindi costante: sulla superficie terrestre, allora, un corpo di massa m_2, subirà una forza gravitazionale direttamente proporzionale alla sua massa, e a prescindere dalla massa m_2, l’accelerazione subita sarà sempre la stessa (sempre per la seconda legge di Newton). E questo conferma in teoria ciò che osserviamo nella nostra esperienza comune™, che tutti i corpi, a prescindere dalla loro massa, cadono con la stessa accelerazione in prossimità della superficie terrestre.

E se è vero che lasciando cadere da molto in alto una piuma e una palla di piombo, la palla di piombo cadrà al suolo prima della piuma, questo è dovuto puramente all’attrito dell’aria e alla forma poco aerodinamica della piuma. Galileo è stato il primo ad accorgersi che oggetti di massa diversa cadono con la stessa accelerazione, grazie ai suoi esperimenti con i piani inclinati — e, leggenda vuole, che abbia anche lanciato degli oggetti pesanti dalla torre di Pisa. Ad ogni modo, esistono test più moderni effettuati anche in assenza di aria: questo esperimento è stato condotto sia in un hangar in cui è stata tolta l’aria, e persino sulla Luna [4].

“Bene, nella mia mano sinistra ho una piuma, in quella destra, un martello. Direi che una delle ragioni per qui siamo qui, oggi, è ad opera di un gentiluomo di nome Galileo, vissuto molto tempo fa, che fece una scoperta alquanto significativa sugli oggetti che cadono in campi gravitazionali. Così abbiamo pensato, quale potrebbe essere il miglior luogo dove sperimentarlo se non la Luna? Così abbiamo pensato di provarlo per voi. La piuma, guarda caso, è proprio quella di un falco, e il nostro modulo lunare si chiama Falcon. Quindi li lascerò cadere e, con un po’ di fortuna, cadranno al suolo contemporaneamente. Che ve ne pare? Sembra proprio che Galileo avesse ragione, per quanto riguarda le sue scoperte.” – David Scott, missione Apollo 15,

I pro e i contro

La legge di gravitazione universale è in grado di spiegare i moti dei pianeti attorno al Sole (o dei satelliti naturali attorno ai pianeti, come la Luna intorno al Sole) e unisce anche la questione della caduta dei gravi. Osservando i moti dei pianeti noti, la legge di gravitazione fu addirittura utilizzata per predire l’esistenza del pianeta Nettuno prima ancora che questi venisse osservato! Sembrerebbe quindi una teoria perfetta, vero? Beh, sì e no.

Precessione dell'orbita di un pianeta attorno alla propria stella centrale. La teoria di Newton non è in grado di spiegare questo fenomeno, osservato per l'orbita di Mercurio.
Precessione di un pianeta attorno alla propria stella centrale. La teoria di Newton non è in grado di spiegare questo fenomeno, osservato per l’orbita di Mercurio. (fonte: Wikipedia)

La precisione della teoria di Newton è davvero incredibile, ma uno dei suoi grandi fallimenti (seppur piccolo di entità) è che non è in grado di spiegare la precessione dell’orbita di Mercurio. Gli antichi greci (in particolare Ipparco) notarono come l’orbita di Mercurio, seppure ellittica, non fosse perfettamente ellittica: era come se Mercurio percorresse un’ellisse che ruotasse anch’essa, a sua volta, attorno al Sole, e quindi la sua orbita non sembrava una linea perfettamente chiusa.

C’è anche un altro problema, anche se più di “eleganza” della teoria. Supponiamo di voler esercitare una forza su un oggetto qui, sulla Terra: la cosa più semplice da fare sarebbe quella di spingere l’oggetto, fino a imprimergli una certa accelerazione. O creare macchinari ed ingranaggi in grado di trasmettergli una forza. Nel caso della caduta dei gravi e dei moti celesti, però, non c’è un contatto: pare che la forza venga trasmessa a distanza, addirittura attraverso il vuoto. La forza gravitazionale assume una natura quasi “magica”, e questo, da un punto di vista fisico, non è particolarmente elegante.

Per non parlare del fatto che questa forza gravitazionale si dovrebbe propagare istantaneamente. Come vedremo a breve, con l’avvento della relatività speciale, la velocità della luce diventa un limite invalicabile per ogni tipo di informazione. Come fa, allora, l’informazione della forza gravitazionale a propagarsi istantaneamente?

Quindi, seppure la teoria di Newton fosse estremamente precisa e utile [5], fu necessario sviluppare una nuova teoria della gravità in grado di risolvere tutti questi problemi, pur rimanendo fedele alla realtà osservativa dei moti dei pianeti e della caduta dei gravi. Questa nuova teoria, quella che ancora oggi pare il sacro Graal della fisica, è la Relatività Generale.

[1] – Con la “f” minuscola, ché qui Star Wars non c’entra.
[2] – Se volete far rabbrividire un fisico, ditegli proprio che la terza legge di Newton è come il karma. Poi il fisico piangerà, ma prima rabbrividirà.
[3] – Sappiamo bene che la Terra, in realtà, non è perfettamente sferica (anche se è molto più sferica che piatta, poco ma sicuro), quindi dire che la Terra abbia un raggio costante in ogni punto è un po’ impreciso. Tuttavia, nel nostro caso, è un’approssimazione validissima.
[4] – Sulla Luna, sì, ci siamo andati (semicit.).

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