Generalità Relative – 3. Albert Einstein: la relatività speciale

But we were miles apart
every inch between us becomes light years now

La velocità della luce

L’avvento dell’elettromagnetismo porta scompiglio nella meccanica classica. Come abbiamo visto, infatti, le equazioni di Maxwell richiedono che la velocità della luce sia la stessa in ogni sistema di riferimento, mentre per la relatività galileiana la velocità di un corpo dipende dal sistema di riferimento inerziale in cui la misuriamo.

Per risolvere questo paradosso, dunque, dobbiamo abbandonare completamente la relatività galileiana e trovare una nuova teoria della relatività, che parta dal presupposto che ogni sistema di riferimento inerziale sia equivalente e inoltre, in accordo con l’elettromagnetismo, che la velocità della luce sia la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale: questa teoria è proprio la relatività speciale.

Lo spaziotempo

Un giovane Albert Einstein (1879-1955) in una foto del 1903 circa, un paio di anni prima di pubblicare la sua teoria della relatività speciale.

Per elaborare al meglio questo concetto, Einstein propone di unire lo spazio e il tempo in un’unica entità: lo spaziotempo. Da un punto di vista formale, parlare di spaziotempo significa che il tempo diventa una coordinata, esattamente come possono esserlo le coordinate spaziali.

In meccanica classica, in genere, un qualunque problema fisico si riduce a risolvere le equazioni del moto, che descrivono in che modo la posizione dell’oggetto che stiamo considerando vari in funzione del tempo: ad ogni istante di tempo, la posizione cambierà in dipendenza del tempo. Se però si considera lo spaziotempo, il tempo non è più una variabile da cui dipende l’equazione del moto, quanto più una quarta coordinata, di pari dignità di una qualsiasi coordinata spaziale.

Lasciando da parte i tecnicismi, di fatto utilizziamo tutti una concezione di spaziotempo nella vita comune: quando ci mettiamo d’accordo con qualcuno per incontrarci, quello che facciamo è decidere un luogo — caratterizzato da tre coordinate, come latitudine, longitudine e quota (per esempio, il piano di un edificio) — e un orario, che funge da quarta coordinata. Se dovesse mancare anche una sola di queste informazioni, l’incontro potrebbe non avvenire mai!

Un’aggiunta che fa la differenza

Così come nello spazio il primo concetto fondamentale da definire è quello di distanza, la stessa cosa la possiamo fare con lo spaziotempo, ed è qui che comincia ad accadere l’impensabile. Per dare a Cesare quel che è di Cesare, rubo e riformulo un’analogia del canale YouTube minutephysics [1]. Per semplicità, infatti, possiamo definire la distanza tra due punti come la “difficoltà” nel raggiungere il secondo punto partendo dal primo. Ovviamente, è più “facile” raggiungere un punto lontano 10 metri piuttosto di uno lontano un chilometro; e una lunghezza di un chilometro è più facile da percorrere di una di 100 chilometri.

Fino ad ora, la nostra definizione di distanza sembra tanto naturale quanto ragionevole. Ma cosa succede se ora aggiungiamo il tempo? Per semplicità, fissiamo una lunghezza, per esempio un chilometro. È più facile raggiungere un chilometro in un giorno o in un’ora? Ed è più facile raggiungerlo in mezz’ora o in 10 minuti? Ecco che cominciano a succedere cose strane: con l’aumentare del tempo, la “facilità” nel raggiungere un punto aumenta, e quindi pare che la distanza diminuisca. In relatività speciale succede esattamente questo: più tempo corrisponde a meno distanza!

Ovviamente, non possiamo per davvero sottrarre un tempo da una distanza: è come se cercassimo di sapere quante patate ci rimangono se dalle cinque che abbiamo togliessimo tre pomodori [2]. Per renderlo possibile, dobbiamo fare in modo che spazio e tempo abbiano la stessa unità di misura, la stessa dimensione. Se ci pensate, se moltiplicassimo il tempo per una velocità, “matemagicamente” il tempo si sarà trasformato in uno spazio. E visto che vogliamo che questa conversione avvenga sempre allo stesso modo in ogni sistema di riferimento, dobbiamo scegliere una velocità che sia sempre la stessa in ogni sistema di riferimento: la velocità della luce!

Ma torniamo al caso in cui abbiamo solo spazio: per calcolare una distanza quello che facciamo di solito è usare il tanto adorato quanto odiato teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa sarà pari alla somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti. La stessa regola va estesa in tre dimensioni spaziali e, analogamente, anche nello spaziotempo! Di conseguenza, nello spaziotempo, avremo che
(\mbox{distanza nello spaziotempo})^2 = (\mbox{lunghezza})^2 - (\mbox{velocit\`a della luce}\times\mbox{durata})^2 .

E cosa succede quando il tempo è tale da far sì che la distanza totale sia zero? Beh, in quel caso staremmo viaggiando proprio alla velocità della luce! Altra cosa curiosa è che per tutto ciò che ha una velocità minore di quella della luce, il quadrato della distanza è negativo! Stranezze, certo, ma che nel contesto della relatività speciale funzionano perfettamente.

Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze

Animazione schematica dell’orologio di luce qui descritto. Il numero indica il tempo trascorso (in unità arbitrarie).

Cosa succede, quindi, quando si suppone che la velocità della luce sia sempre la stessa, in ogni sistema di riferimento?

Per scoprirlo, costruiamo un orologio di luce! Supponiamo di essere estremamente capaci: prendiamo due specchi e tra di loro facciamo rimbalzare una particella di luce, un fotone. Nel sistema di riferimento in cui l’orologio è immobile, il fotone si muoverà su e giù, alla velocità della luce.

Ora mettiamo in moto l’orologio, in direzione perpendicolare al moto del fotone. Noi rimarremo fermi a guardare cosa succede all’orologio in moto, e misureremo i tempi con un altro orologio identico, che terremo fermo con noi. Dicevamo che la velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento: anche nell’orologio in moto, il fotone si muoverà alla velocità della luce, ma percorrerà una lunghezza maggiore, e impiegherà più tempo a rimbalzare! Di conseguenza, nei due sistemi di riferimento, sarà trascorso un tempo diverso. Vediamo quindi che gli intervalli di tempo non sono più indipendenti dal sistema di riferimento, e anzi, dipendono dalla velocità: osservatori in moto misureranno durate di tempo minori rispetto agli osservatori fermi. Questo effetto è noto come dilatazione dei tempi.

Utilizzando considerazioni simili, inoltre, si può notare che anche le lunghezze non sono più assolute. Immaginiamo, infatti, di voler misurare la lunghezza di una sbarra in un modo particolare: ci muoviamo di velocità costante nella direzione della sbarra, facciamo partire il nostro orologio quando ci troviamo ad un estremo e lo fermiamo quando siamo all’altro estremo. Nota la velocità e misurato il tempo, ci basterà moltiplicare la velocità per il tempo e troveremo la lunghezza della sbarra. Tuttavia, a causa della dilatazione dei tempi, per un osservatore fermo rispetto alla sbarra, il tempo che l’osservatore in moto avrà impiegato per percorrere la lunghezza della sbarra sarà maggiore, ma la velocità relativa sarà la stessa: quindi, per l’osservatore fermo, il tempo sarà maggiore e la sbarra sarà più lunga, mentre per l’osservatore in moto il tempo sarà minore e la sbarra sarà più corta. Questo fa sì che l’osservatore in moto misuri una contrazione delle lunghezze lungo la direzione del moto.

Orologi di luce, uno fermo, l’altro viaggia al 45% della velocità della luce. Il tempo nell’orologio in moto scorre più lentamente. La distanza percorsa, inoltre, sarà diversa se, per misurarla, si usano i tempi misurati dai due orologi: per l’orologio in moto si avrà una contrazione delle lunghezze.
Insomma, con l’avvento della relatività speciale, le lunghezze e gli intervalli di tempo, non sono più concetti assoluti, ma dipendono strettamente dal sistema di riferimento. Tuttavia, quello che succede è che la distanza nello spaziotempo risulta un’invariante del moto: qualunque sia la velocità, le variazioni in lunghezze e durate si compensano in modo tale che la distanza nello spaziotempo sarà sempre la stessa.

Altre stranezze della relatività speciale

Le stranezze non finiscono qui: prendiamo Kip Thorne e lo mettiamo alla guida della sua auto. Supponiamo che stia viaggiando a 100 km/h. Ad un certo punto, decide di accendere i fari sulla sua auto. Noi sappiamo che la velocità della luce è di circa 300.000 km/s, o circa un miliardo di chilometri al secondo. Visto che la velocità della luce deve essere sempre la stessa in ogni sistema di riferimento, per Einstein, fermo sul marciapiede, la luce dei fari dell’auto di Kip Thorne viaggerà ancora alla velocità della luce, e non alla velocità della luce più 100 km/h.

E se Kip, invece di accendere i fari, avesse lanciato una biglia con una fionda, diciamo a 10 km/h, a che velocità l’avrebbe vista Einstein? Secondo Galileo, la pallina avrebbe avuto una velocità pari a esattamente 110 km/h, ma secondo Einstein la velocità sarebbe stata leggermente inferiore: 109.9999999999999 km/h. Questo succede perché, in relatività speciale, le velocità non si sommano più in modo lineare.

Le differenze sembrano trascurabili, è vero, ma lo rimangono solo quando le velocità in gioco sono molto più piccole di quella della luce. Solo per velocità molto elevate gli effetti che abbiamo visto assumono una certa rilevanza. Grazie a questo fatto, per velocità molto piccole (come quelle che usiamo tutti i giorni) la relatività speciale si può tranquillamente ignorare a favore della più semplice (e intuitiva) relatività galileiana, senza complicarci la vita con tempi che si dilatano, lunghezze che si contraggono, e velocità che non si sommano linearmente.

Andando a studiare la relatività speciale più nel dettaglio ci si accorge che vi sono anche altri effetti particolari che emergono ad alte velocità, come l’effetto doppler relativistico, il beaming, e altri ancora, che non sono affatto semplici da spiegare (senza l’ausilio della matematica) o da immaginare. Per visualizzarli, vi consiglio di provare il gioco “A slower speed of light” sviluppato dal MIT (e liberamente scaricabile!), che abbassando gradualmente la velocità della luce, vi fa vedere come sarebbe viaggiare a velocità relativistiche, e rende evidenti agli occhi effetti che tutto sono, tranne che evidenti all’intuizione.

Modalità di gioco di A slower speed of light

L’equivalenza tra massa ed energia

Il risultato più famoso di tutta la teoria della relatività speciale, tuttavia, è la celeberrima equazione che descrive l’equivalenza tra massa ed energia:

E = mc^2

Prima di tutto, specifichiamo che Einstein non ha tirato questa equazione fuori dal cilindro: questa segue in modo piuttosto lineare dalle altre equazioni della relatività speciale.

Per comprendere il vero significato di questa equazione, facciamo un passo indietro, e torniamo alla meccanica classica. Se consideriamo che non vi siano forze esterne che fanno accelerare i corpi, e quindi che gli oggetti abbiano sempre velocità costante, in meccanica classica possiamo associare ad un oggetto la sua energia cinetica, che dipende esclusivamente dalla massa dell’oggetto e dalla sua velocità al quadrato.

Ciò significa che, per portare un oggetto di massa m a una velocità v, dobbiamo fornire all’oggetto un’energia pari all’energia cinetica che l’oggetto avrebbe a velocità v: in questo modo, l‘energia spesa sull’oggetto è pari all’energia cinetica finale dell’oggetto stesso. [3] In teoria, in meccanica classica, niente ci vieta di fornire a un oggetto un’energia che lo porti a una velocità arbitrariamente elevata, anche maggiore di quella della luce. Infine, notiamo che, se l’oggetto è fermo, la sua velocità sarà nulla, e dunque anche la sua energia cinetica sarà uguale a zero.

In relatività speciale, però, la questione è diversa: le equazioni ci dicono che la velocità della luce è un limite insuperabile. Questo richiede che, quando la velocità dell’oggetto si avvicini alla velocità della luce c , l’energia totale dell’oggetto debba essere infinita, altrimenti sarebbe sufficiente una energia finita per portarlo alla velocità della luce, e fornendogli energia in più, la sua velocità potrebbe aumentare ulteriormente e superare il limite!

Ora, se nelle equazioni della relatività speciale imponiamo che la velocità della luce sia un limite invalicabile, l’espressione dell’energia cambia; e se la velocità dell’oggetto dovesse essere zero, con questa nuova espressione l’energia dell’oggetto non sarebbe più zero, ma sarebbe data dalla celeberrima equazione E = mc^2 . Notate che, dato che la velocità dipende dal sistema di riferimento, anche l’energia totale misurata dipende dal sistema di riferimento, ma l’energia dell’oggetto “a riposo” non dipende dalla velocità: sarà quindi sempre la stessa in ogni sistema di riferimento.

[1] – Il video di minutephysics a cui faccio riferimento potete raggiungerlo con questo link
[2] – Quella delle unità di misura vegetali è una fissazione di ogni fisico!
[3] – E l’energia, per fortuna, si conserva!

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